Note ABES Classification analytique de germes de champs de vecteurs tridimensionnels doublement résonants et applications aux équations de Painlevé Analytic classification of germs of three-dimensional doubly-resonant vector fields and applications to Painlevé equations Champs de vecteurs singuliers Équations différentielles Résonance Équations de Painlevé Classification analytique Formes normales Singular vector fields Differential equations Resonance Painlevé equations Normal forms 515.3 516.3 Champs vectoriels Équations différentielles Équations de Painlevé On considère des germes de champs de vecteurs holomorphes singuliers trimimensionnels, appelés noeud-cols doublement résonants. Ces champs de vecteurs correspondent à des systèmes différentiels bidimensionnels à singularité irrégulière, et dont la partie linéaire possède deux valeurs propres non-nulles opposées. Ce type de singularité apparait par exemple à l'infini dans les équations de Painlevé PI,...,PV après compactification à poids de l'espace, pour des valeurs génériques des paramètres. Depuis Boutroux, l'étude de ces singularités a générè de nombreux travaux de recherche. Récemment, plusieurs auteurs ont fournis des informations nouvelles, en étudiant notamment les phénomènes de Stokes non-linéaires et quasi-linéaires associés, en donnant des formules de connexion. Les coefficients de Stokes quasi-linéaires sont invariants sous l'action de changement de coordonnées analytiques locaux, mais ne forment pas un système complet d'invariants analytiques. L'objectif de ce travail de thèse est de fournir une classification analytique générale et complète des noeud-cols doublement résonants. L'idée pour cela est d'adapter les travaux de Martinet et Ramis, généralisés ensuite par Stolovitch. Dans une première partie on fournit une classification formelle, i.e. sous l'action de changements de coordonnées formels, en exhibant des formes normales formelles. Dans un second temps, on étudiera l'existence de normalisations sectorielles (analytiques sur des secteurs), généralisant ainsi un théorème de Hukuhara-Kimura-Matuda. Enfin, on étudiera les recollements entre ces applications normalisantes dans les domaines d'intersections: c'est ce que l'on appellera les difféomorphismes de Stokes. Il s'agira là d'étudier des isotropies sectorielles de la forme normale. On verra que la donnée d'une forme normale formelle et d'un couple de difféomorphismes de Stokes fournira un système complet d'invariants analytiques. Enfin, dans une quatrième et dernière partie, nous calculerons certains de ces invariants pour la singularité irrégulière à l'infini de la première équation de Painlevé. We consider germs of analytic singular vector fields in dimension three, called doubly-resonant saddle-nodes. These vector fields correspond to irregular two-dimensional systems with a pair of two opposite non-zero eigenvalues. This king of singularity appears for instance at infinity in Painlevé equations PI,...,PV, after a weighted compactifcation, for generic values of the parameters. Since Boutroux, the study of these singularities has generated many researches. Recently, several authors provided new informations, by studying for instance the associated non-linear and quasi-lineair Stokes phenomenas and by giving connection formulas. Quasi-linéaire Stokes coefficients are invariant under local analytic change of coordinates, but do not form a complete set of invariants for analytic classification. The goal of this work is to provide a complete analytic classification of doubly-resonant saddle-nodes. The idea for this is to adapt the works of Martinet and Ramis, generalized then by Stolovitch. In the first part, we give a formal classification, based on the existence on unique formal normal forms. In the second part, we prove the existence of sectorial nomalizing maps (analytic over sectors), generalizing a theorem by Hukuhara-Kimura-Matuda. In the third part, we study the Stokes diffeomorphisms, and more generaly the sectorials isotropies of the normal form. We obtain a complet set of analytic invariants. Finally, in the fourth part, we compute some of these invariants in the case of the first Painlevé equation. Electronic Thesis or Dissertation Text fr PDF 5527525 Université de Strasbourg Strasbourg 2017-12-31 https://theses.hal.science/tel-01367968 application/pdf 70321600 https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2016/bittmann_amaury_2016_ED269.pdf http://www.theses.fr/2016STRAD042/abes https://theses.hal.science/tel-01367968 https://theses.hal.science/tel-01367968 https://theses.hal.science/tel-01367968 Bittmann Amaury 1989-01-26 FR 202704556 40811537 https://theses.fr/2016STRAD042 2016STRAD042 https://doi.org/10.70675/48900ec1z3711z44d8z9df8z364edbf3ddf2 2016-10-10 Mathématiques Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Teyssier Loïc MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 07444977X Panazzolo Daniel MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_2 061481025 Ramis Jean-Pierre MADS_PRESIDENT_DU_JURY 031656218 Loray Frank MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 061678112 De Maesschalck Peter MADS_RAPPORTEUR_1 188248978 Stolovitch Laurent MADS_RAPPORTEUR_2 110967623 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 MA 156504863 Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 UMR 7501 026571641 93707 ddc:510 Jean dit Teyssier Loïc Panazzolo Daniel Ramis Jean-Pierre Loray Frank De Maesschalck Peter Stolovitch Laurent École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg) Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) PDF 5527525