Note ABES Stabilisation et asymptotique spectrale de l’équation des ondes amorties vectorielle Stabilization and spectral asymptotics of the vectorial damped wave equation Stabilisation Contrôle EDP Équation des ondes amorties Sur-amortissement Condition de contrôle géométrique Asymptotique spectrale Opérateur non auto-adjoint Stabilization Control PDE Damped wave equation Overdamping Geometric control condition Spectral asymptotics Non self-adjoint operator 515.3 530.14 530.15 Mécanique ondulatoire Équations aux dérivées partielles -- Théorie asymptotique Théorie spectrale (mathématiques) Variétés de Riemann Dans cette thèse nous considérons l’équation des ondes amorties vectorielle sur une variété riemannienne compacte, lisse et sans bord. L’amortisseur est ici une fonction lisse allant de la variété dans l’espace des matrices hermitiennes de taille n. Les solutions de cette équation sont donc à valeurs vectorielles. Nous commençons dans un premier temps par calculer le meilleur taux de décroissance exponentiel de l’énergie en fonction du terme d’amortissement. Ceci nous permet d’obtenir une condition nécessaire et suffisante la stabilisation forte de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous mettons aussi en évidence l’apparition d’un phénomène de sur-amortissement haute fréquence qui n’existait pas dans le cas scalaire. Dans un second temps nous nous intéressons à la répartition asymptotique des fréquences propres de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous démontrons que, à un sous ensemble de densité nulle près, l’ensemble des fréquences propres est contenu dans une bande parallèle à l’axe imaginaire. La largeur de cette bande est déterminée par les exposants de Lyapunov d’un système dynamique défini à partir du coefficient d’amortissement. In this thesis we are considering the vectorial damped wave equation on a compact and smooth Riemannian manifold without boundary. The damping term is a smooth function from the manifold to the space of Hermitian matrices of size n. The solutions of this équation are thus vectorial. We start by computing the best exponential energy decay rate of the solutions in terms of the damping term. This allows us to deduce a sufficient and necessary condition for strong stabilization of the vectorial damped wave equation. We also show the appearance of a new phenomenon of high-frequency overdamping that did not exists in the scalar case. In the second half of the thesis we look at the asymptotic distribution of eigenfrequencies of the vectorial damped wave equation. Were show that, up to a null density subset, all the eigenfrequencies are in a strip parallel to the imaginary axis. The width of this strip is determined by the Lyapunov exponents of a dynamical system defined from the damping term. Electronic Thesis or Dissertation Text fr en PDF 2765906 Université de Strasbourg Strasbourg 2019-12-31 https://theses.hal.science/tel-01943093 application/pdf 2315944 https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2018/Klein_Guillaume_2018_ED269.pdf http://www.theses.fr/2018STRAD050/abes https://theses.hal.science/tel-01943093 https://theses.hal.science/tel-01943093 Klein Guillaume 1993-01-03 FR 236981838 https://theses.fr/2018STRAD050 2018STRAD050 https://doi.org/10.70675/cf3785e8z6206z4643z9bf4z118aa728bdd2 2018-12-12 Mathématiques Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Anantharaman Nalini MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 144617919 Beauchard Karine MADS_PRESIDENT_DU_JURY 144481316 Côte Raphaël MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 119749351 Sjöstrand Johannes MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 028809327 Duyckaerts Thomas MADS_RAPPORTEUR_1 123433770 Hitrik Michael MADS_RAPPORTEUR_2 236981870 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 156504863 Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 026571641 93707 ddc:510 ddc:530 Anantharaman Nalini Beauchard Karine Côte Raphaël Sjöstrand Johannes Duyckaerts Thomas Hitrik Michael École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) PDF 2765906