Note ABES Représentations associées à des graduations d'algèbres de Lie et d'algèbres de Lie colorées Representations associated to gradations of Lie algebras and colour Lie algebras Représentations spéciales Invariant de Kostant Algèbre de Lie simple de dimension trois Extensions of colour Lie algebras Three-dimensional simple Lie algebra Special representations Kostant invariant 512.4 516.3 530.15 Représentations d'algèbres de Lie Superalgèbres de Lie Groupes de Lie semi-simples Analyse spinorielle Invariants Soit k un corps de caractéristique différente de 2 et de 3. Les algèbres de Lie colorées généralisent à la fois les algèbres de Lie et les superalgèbres de Lie. Dans cette thèse on étudie des représentations V d'algèbres de Lie colorées g provenant de structures d'algèbres de Lie colorées sur l'espace vectoriel g⨁V. En premier lieu, on s'intéresse à la structure générale des algèbres de Lie simples de dimension 3 sur k. Puis, on classifie à isomorphisme près les superalgèbres de Lie de dimension finie dont la partie paire est une algèbre de Lie simple de dimension 3. Ensuite, pour un groupe abélien ᴦ et un facteur de commutation ɛ de ᴦ, on développe l'algèbre multilinéaire associée aux espaces vectoriels ᴦ-gradués. Dans ce contexte, les algèbres de Lie colorées jouent le rôle des algèbres de Lie. Ce langage nous permet d'énoncer et prouver un théorème de reconstruction d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g⨁V à partir d'une représentation ɛ-orthogonale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g. Ce théorème fait intervenir un invariant qui prend ses valeurs dans la ɛ-algèbre extérieure de V et généralise des résultats de Kostant et Chen-Kang. Puis, on introduit la notion de représentation ɛ-orthogonale spéciale V d'une algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique g et on montre qu'elle permet de définir une structure d'algèbre de Lie colorée ɛ-quadratique sur l'espace vectoriel g⨁sl(2,k)⨁V⨂k². Enfin on donne des exemples de représentations ɛ-orthogonales spéciales, notamment des représentations orthogonales spéciales d'algèbres de Lie dont : une famille à un paramètre de représentations de sl(2,k)xsl(2,k) ; la représentation fondamentale de dimension 7 d'une algèbre de Lie de type G₂ ; la représentation spinorielle de dimension 8 d'une algèbre de Lie de type so(7). Let k be a field of characteristic not 2 or 3. Colour Lie algebras generalise both Lie algebras and Lie superalgebras. In this thesis we study representations V of colour Lie algebras g arising from colour Lie algebras structures on the vector space g⨁V. Firstly, we study the general structure of simple three-dimensional Lie algebras over k. Then, we classify up to isomorphism finite-dimensional Lie superalgebras whose even part is a simple three-dimensional Lie algebra. Next, to an abelian group ᴦ and a commutation factor ɛ of ᴦ, we develop the multilinear algebra associated to ᴦ-graded vector spaces. In this context, colour Lie algebras play the rôle of Lie algebras. This language allows us to state and prove a theorem reconstructing an ɛ-quadratic colour Lie algebra g⨁V from an ɛ-orthogonal representation V of an ɛ-quadratic colour Lie algebra g. This theorem involves an invariant taking its values in the ɛ-exterior algebra of V and generalises results of Kostant and Chen-Kang. We then introduce the notion of a special ɛ-orthogonal representation V of an ɛ-quadratic colour Lie algebra g and show that it allows us to define an ɛ-quadratic colour Lie algebra structure on the vector space g⨁sl(2,k)⨁V⨂k². Finally we give examples of special ɛ-orthogonal representations and in particular examples of special orthogonal representations of Lie algebras amongst which are: a one-parameter family of representations of sl(2,k)xsl(2,k) ; the 7-dimensional fundamental representation of a Lie algebra of type G₂ ; the 8-dimensional spinor representation of a Lie algebra of type so(7). Electronic Thesis or Dissertation Text en PDF 1762716 Université de Strasbourg Strasbourg 2019-12-31 https://theses.hal.science/tel-01968393 application/pdf 1523414 https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2019/meyer_philippe_2019_ED269.pdf http://www.theses.fr/2019STRAD001/abes https://theses.hal.science/tel-01968393 https://theses.hal.science/tel-01968393 https://theses.hal.science/tel-01968393 Meyer Philippe 1992-06-24 FR 23871697X https://theses.fr/2019STRAD001 2019STRAD001 https://doi.org/10.70675/a4b6af88zf1faz42c6zbb74z914e5a11bf00 2019-01-09 Mathématiques Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Slupinski Marcus MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 238717143 Fock Vladimir MADS_PRESIDENT_DU_JURY 180884026 Slupinski Marcus MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 238717143 Fock Vladimir MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 180884026 Bennequin Daniel MADS_MEMBRE_DU_JURY_3 026718057 Wurzbacher Tilman MADS_MEMBRE_DU_JURY_4 060259175 Harinck Pascale MADS_MEMBRE_DU_JURY_5 033848122 Bennequin Daniel MADS_RAPPORTEUR_1 026718057 Wurzbacher Tilman MADS_RAPPORTEUR_2 060259175 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 156504863 Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 026571641 93707 ddc:510 ddc:530 Slupinski Marcus Fock Vladimir Slupinski Marcus Fock Vladimir Bennequin Daniel Wurzbacher Tilman Harinck Pascale Bennequin Daniel Wurzbacher Tilman École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) PDF 1762716