Note ABES Phase transitions in random groups : free subgroups and van Kampen 2-complexes Transitions de phase dans les groupes aléatoires : sous-groupes libres et 2-complexes de van Kampen Groupe aléatoire Transition de phase Formule d’intersection Freiheitssatz Diagramme de van Kampen Random group Phase transition Intersection formula Freiheitssatz Van Kampen diagram 519 Théorie des groupes Théorie des possibilités Dans cette thèse, nous étudions les transitions de phase dans les groupes aléatoires à densité. Un groupe aléatoire à densité d est défini par une présentation avec m générateurs et 2m-1 puissance dl relations aléatoires, où l est la longueur maximale des relations. Nous avons deux résultats principaux : un sur le problème des sous-groupes libres et l'autre sur l'existence des 2-complexes de van Kampen. Pour tout entier r entre 1 et m-1, nous trouvons une transition de phase à la densité d(r) = min{1/2, 1-log(2r-1)/log(2m-1)} : Si d>dr, alors les r premiers générateurs engendrent le groupe entier ; si d<d(r), alors les r premiers générateurs engendrent un sous-groupe libre. Ce résultat donne de nouveaux exemples de présentations de groupes satisfaisant la propriété de Freiheitssatz, avec une grande variété de longueurs de relations. Pour chaque 2-complexe d'une forme géométrique donnée, nous donnons une densité critique qui caractérise l'existence d'un 2-complexe de van Kampen dont le 2-complexe sous-jacent est celui donné. Afin de prouver ce résultat, nous étudions en détail la formule d'intersection pour les sous-ensembles aléatoires et donnons une version multidimensionnelle de cette formule. In this thesis, we study phase transitions in random groups at density. A random group at density d is defined by a presentation with m generators and 2m-1 powers dl random relations, where l is the maximal length of the relations. We have two main results: one on the free subgroup problem and the other on the existence of van Kampen 2-complexes. For any integer r between 1 and m-1, we find a phase transition at the density d(r) = min{1/2, 1-log(2r-1)/log(2m-1)}: If d>d(r), then the r first generators generate the whole group; if d<d(r), then the r first generators generate a free subgroup. This result gives new examples of group presentations satisfying the Freiheitssatz property, with a wide variety of relation lengths. For each 2-complex of a given geometric form, we give a critical density which characterizes the existence of a van Kampen 2-complex whose underlying 2-complex is the given one. In order to prove this result, we study in detail the intersection formula for random subsets and give a multidimensional version of this formula. Electronic Thesis or Dissertation Text en PDF 2745394 Université de Strasbourg Strasbourg 2022-12-31 https://theses.hal.science/tel-03891750 application/pdf 2681747 https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2022/TSAI_Tsung-Hsuan_2022_ED269.pdf http://www.theses.fr/2022STRAD008/abes https://theses.hal.science/tel-03891750 https://theses.hal.science/tel-03891750 https://theses.hal.science/tel-03891750 Tsai Tsung-Hsuan 1996-04-13 FR 266274854 0114017941V 21922370 4200001 https://theses.fr/2022STRAD008 2022STRAD008 https://doi.org/10.70675/31a142b3z0462z497dz990az53b9c73e24b3 2022-07-12 Mathématiques Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Delzant Thomas MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 03167044X Bassino Frédérique MADS_PRESIDENT_DU_JURY 116849851 Arzhantseva Goulnara N. MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 118835548 Guéritaud François MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 113489641 Breuillard Emmanuel MADS_RAPPORTEUR_1 070316635 Calegari Danny MADS_RAPPORTEUR_2 117631507 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 269 156504863 Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 93707 026571641 ddc:510 Delzant Thomas Bassino Frédérique Arzhantseva Goulnara N. Guéritaud François Breuillard Emmanuel Calegari Danny École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) PDF 2745394