Note ABES Singularités algébriques et domaines symplectiques Algebraic singularities and symplectic domains Géométrie différentielle Géométrie symplectique Géométrie algébrique Topologie symplectique Differential geometry Symplectic geometry Algebraic geometry Symplectic topology 516 Géométrie différentielle Géométrie symplectique Géométrie algébrique Topologie symplectique et de contact L’objectif de cette thèse est d’approfondir les liens mis en lumière par McDuff-Polterovic, Biran et Opshtein entre l’existence de plongements de domaines symplectiques dans une variété symplectique et l’existence de courbes symplectiques réalisant des singularités algébriques planes isolées dans ces variétés. Pour ce faire, on rappelle dans un premier temps des notions essentielles de géométrie symplectique : courbes J-holomorphes, inflations, et des techniques algébriques : résolution de singularité algébrique. Dans un second temps on explique comment construire un analogue symplectique de la résolution algébrique permettant de construire une forme symplectique sur un éclatement algébrique et comment itérer ce procédé afin de résoudre une singularité algébrique réalisée par une courbe symplectique de sorte que le diviseur exceptionnel soit symplectique à croisements normaux et tel que la courbe résolu soit symplectique. Dans une troisième partie on explique comment construire un domaine symplectique associé à un diviseur exceptionnel à l’aide d’un analogue symplectique de la contraction algébrique et on donne leurs propriétés. Dans une quatrième partie on démontre les résultats principaux de la thèse. Enfin, on donne quelques exemples de correspondances domaines-singularités et on montre notamment que tout domaine torique concave peut-être associé à une singularité plane et on exhibe un domaine qui semble ne pas en être un. The aim of this thesis is to deepen the links highighted by McDuff-Polterovic, Biran and Opshtein between the existence of the symplectic embedding of a domain into a symplectic manifold and the existence of symplectic curves realizing isolated planar algebraic singularity in such a manifold. For this, we first recall some essentials notions of symplectic geometry, such as J-holomorphic curves and inflation technics, and the technic of algebraic resolution of singularities. Secondly, we explain how to build symplectic analogue of algebraic resolution that allows us to endow a complexe blow-up with a symplectic form such that the exceptional divisor is symplectic with normal crossings and such that the resolved curve is also symplectic. In a third part, we explain how the symplectic analogue of the algebraic blow-down allows us to build a symplectic domain associated to the exceptional divisor and we give its properties. In the fourth part, we prove the main theorems of the thesis. Finally, we give some example of correspondence between singularities and domains and we show in particular that any concave toric domain can be associated with a planar algebraic singularity and we exhibit a domain that may not be a concave toric domain. Electronic Thesis or Dissertation Text fr PDF 1017842 Université de Strasbourg Strasbourg 2023-12-31 https://theses.hal.science/tel-03829837 application/pdf 1037894 https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2022/Lorscheider_Thibault_2022_ED269.pdf http://www.theses.fr/2022STRAD045/abes https://theses.hal.science/tel-03829837 https://theses.hal.science/tel-03829837 Lorscheider Thibault 1994-01-27 FR 270095055 1205030740X 21220665 4200001 https://theses.fr/2022STRAD045 2022STRAD045 https://doi.org/10.70675/598f52fbzd2dfz4cecza5c8zd6734ebab426 2022-11-08 Mathématiques Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Opshtein Emmanuel MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 091943841 Schlenk Felix MADS_PRESIDENT_DU_JURY 103810102 Damian Mihai MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 147160944 Sandon Sheila MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 202638642 Popescu-Pampu Patrick MADS_RAPPORTEUR_1 069555257 Ramos Vinicius Gripp Barros MADS_RAPPORTEUR_2 270095152 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 269 156504863 Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 93707 026571641 ddc:510 Opshtein Emmanuel Schlenk Felix Damian Mihai Sandon Sheila Popescu-Pampu Patrick Ramos Vinicius Gripp Barros École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) PDF 1017842