Structures algébriques associées aux relations de double mélange entre valeurs polylogarithmes multiples aux racines de l’unité
Langue Anglais
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Auteur : Yaddaden, Khalef
Date de soutenance : 14-03-2023

Directeur(s) de thèse : Enriquez, Benjamin

Président : Chapoton, Frédéric
Rapporteur(s) : Furusho, Hidekazu - Schneps, Leila
Membre(s) du jury : Alekseev, Anton

Établissement de soutenance : Strasbourg
Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
École doctorale : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
 
Discipline : Mathématiques
Classification : Mathématiques

Mots-clés libres : Valeurs polylogarithmes multiples, Relations de double mélange et régularisation, Coproduit harmonique, Torseur de double mélange, Algèbre produit croisé, Algèbre filtrée, Formalisme de Rham, Formalisme Betti
Mots-clés :
  • Algèbre
  • Formalisme (mathématiques)
Résumé : Les travaux de Racinet ont permis d'associer à tout groupe cyclique fini G et à toute injection de groupes ι :G→C^× un Q-schéma DMR^ι décrivant les relations de double mélange et régularisation entre valeurs polylogarithmes multiples aux racines N^"ièmes" de l’unité avec N l’ordre de G. Il a aussi exhibé un schéma en groupes 〖DMR〗_0^G et montré qu’un sous-schéma 〖DMR〗_×^ι de DMR^ι est un torseur pour l’action de 〖DMR〗_0^G. Ensuite, Enriquez et Furusho ont démontré que 〖DMR〗_0^G s'identifie essentiellement au stabilisateur d'un coproduit intervenant au sein du formalisme de Racinet pour l'action du groupe G des éléments diagonaux d'une algèbre de Hopf de séries non commutatives munie du << produit de Magnus tordu >>. On reformule les constructions de Racinet en termes de produit croisé. Le coproduit de Racinet peut alors être identifié avec un coproduit Δ ̂_G^(M,"DR" ) défini sur un module M ̂_G^"DR" sur une algèbre W ̂_G^"DR" munie de son propre coproduit Δ ̂_G^(W,"DR" ). On construit des actions compatibles d'un produit semi-direct faisant intervenir G sur M ̂_G^"DR" et W ̂_G^"DR" . On aboutit alors à un schéma en groupes stabilisateur contenant 〖DMR〗_0^G que l'on exprime au sein du formalisme de Racinet. Par ailleurs, comme 〖DMR〗_×^ι est un torseur, il possède naturellement une structure de bitorseur qui a été étudiée par Enriquez et Furusho pour G=1 ; ils montrent dans ce cas que 〖DMR〗_×^ι est un torseur d'isomorphismes mettant en relation des objets << de Rham >> avec des objets << Betti >>. Dans la seconde partie de ce travail, on définit les ingrédients principaux pour une généralisation de ce résultat à tout groupe cyclique fini G : on exhibe un module M ̂_N^"B" sur une algèbre W ̂_N^"B" (N étant l’odre de G) et on démontre l’existence de deux coproduits Δ ̂_N^(W,"B" ) et Δ ̂_N^(M,"B" ) sur W ̂_N^"B" et M ̂_N^"B" respectivement tels que 〖DMR〗_×^ι est contenu dans le torseur des isomorphismes reliant Δ ̂_N^(W,"B" ) (resp. Δ ̂_N^(M,"B" )) à Δ ̂_G^(W,"DR" ) (resp. Δ ̂_G^(M,"DR" )).
 
Type de contenu : Text
Format : PDF
 
Entrepôt d'origine : STAR : dépôt national des thèses électroniques françaises
Identifiant : 2023STRAD001
Type de ressource : Thèse