Periodic sequences and persistent homology applied to music : theoretical foundations and new results
Langue Anglais
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Auteur : Gilblas, Riccardo Carmine
Date de soutenance : 08-04-2024
Directeur(s) de thèse : Andreatta, Moreno - Fiorot, Luisa
Établissement de soutenance : Strasbourg - Università degli studi (Padoue, Italie)
Laboratoire : Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg)
École doctorale : École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....)
Discipline : Mathématiques
Classification : Mathématiques, Musique
Mots-clés libres : Séquences périodiques, Homologie persistante, Complexité harmonique, Musique
Mots-clés :
Résumé : À partir de l’application répétée de l’opérateur somme à certaines séquences, en ce qui concerne leur longueur (appelée période), on observe des comportements intéressants et des propriétés mathématiques récurrentes. Certaines observations ont été faites par Anatol Vieru lui-même dans [18] : il a observé que la période des séquences tend généralement à augmenter quand on applique l’opérateur de somme, et pour certaines séquences cela reste toujours une puissance de 2. En outre, pour des séquences spécifiques, il y a des valeurs qui ont tendance à proliférer. La première formalisation mathématique a été faite par D.T. Vuza en 1982 ( [19]) et en [2] ont été présentés les résultats fondamentaux sur la décomposition en séquences idempotente et nilpotente (appelées réductibles et reproductibles respectivement). Dans[4] le problème de la prolifération de certaines valeurs dans les primitives de la séquence [2, 1, 2, 8, 4, 4, 8] P12 was studied in a computational way a été∈ étudié. Plus récemment, in [13] le formalisme des automates (cellular automata) a été utilisé pour étudier les propriétés duales de l’opérateur ∆. Nous résumons ici la théorie des séquences périodiques à valeurs modulairesdéveloppée jusqu’à présent et présentons les résultats obtenus sur la période des primitives et sur la prolifération des valeurs. Les résultats principaux (Lemma 1.3.5, Proposition 1.5.10, Theorems 1.5.6, 1.5.9 and 2.2.1, Section 2.3.2, Section 2.4) font partie d’un travail conjoint avec Luisa Fiorot et Alberto Tonolo (voir [8, 9]). L’homologie persistante a été utilisée dans la recherche mathématique et musicale, dans le but de relier les caractéristiques topologiques des codes-barres aux propriétés musicales des ensembles de données. En particulier, dans [23] l’homologie persistante est utilisée avec le Tonnetz pour le classement automatique des styles. Dans [24], la filtration Vietoris-Rips est utilisée pour calculer l’homologie persistante d’une partition de musique et pour afficher les caractéristiques thématiques des morceaux de musique Nous nous concentrons sur l’harmonie et, plus précisément, sur la complexité harmonique. Comme en [23], l’objectif est de reconstituer les propriétés harmoniques (densité harmonique) des séquences d’accords associées à des morceaux de musique. Nous utilisons deux bases de données musicales ([33, 26]) qui contiennent l’analyse harmonique du corpus des Beatles et de plusieurs corpus de musique classique respectivement. Par rapport à [23], nous abandonnons le Tonnetz au profit d’un objet plus souple : un graphe d’accords. Cela nous permet de modifier librement les relations entre les accords et aussi de considérer des distances non symétriques entre eux. Ce dernier aspect joue, à notre avis, un rôle central dans les progressions harmoniques, car il décrit bien l’asymétrie temporelle de la perception humaine de l’harmonie. Pour construire des complexes simpliciaux sur des graphes orientés, donc sans avoir une distance symétrique, nous utilisons la filtration Dowker, dont les avantages ont été présentés dans [22, 25].
Type de contenu : Text
Format : PDF
Entrepôt d'origine : STAR : dépôt national des thèses électroniques françaises
Identifiant : 2024STRAD004
Type de ressource : Thèse
