Note ABES Combinatoire, homotopie et plongements d’opérades Combinatorics, homotopy, and embedding of operads Combinatoire Opérade Espèce combinatoire Dualité de Koszul Algèbre de Lie Algèbre pre-Lie Arbres enracinés Arbres de Greg Hyperarbres Combinatorics Operad Combinatorial species Koszul duality Lie algebra Pre-Lie algebra Rooted trees Greg trees Yper-trees 512 Opérades Combinaisons (mathématiques) Les opérades algébriques sont un outil algébrique permettant d’encoder certaines variétés d’algèbres non-nécessairement associatives, comme les algèbres de Lie ou les algèbres pre-Lie. De plus, les opérades algébriques peuvent elles-mêmes être vues comme des algèbres dans une catégorie bien choisie. Cette remarque permet l’étude des opérades via les puissants outils de l’algèbre homologique. En parallèle, la catégorie monoïdale telle que les objets en monoïde de cette catégorie sont les opérades est la catégorie des espèces combinatoires munie du pléthysme. Cela permet d’adopter un point de vue très combinatoire sur les opérades donnant ainsi des descriptions très explicites des objets considérés. Ces deux approches synergisent très bien ensemble et cette thèse se concentrera sur l'interaction entre ces deux points de vue. En effet, nous utiliserons des outils homotopiques tels que la dualité de Koszul opéradique pour obtenir des informations combinatoires sur les opérades que nous étudions. Nous utilisons ensuite celles-ci pour obtenir des descriptions combinatoires permettant d'effectuer des calculs explicites. Cette thèse est divisée en trois parties. La première partie est une introduction à la théorie des espèces. Ensuite, nous donnons une introduction à la théorie des opérades algébriques et à la dualité de Koszul opéradique. Enfin, nous calculons certaines descriptions combinatoires d’opérades, et les appliquons pour prouver une conjecture de Dotsenko sur un plongement de l'opérade encodant la structure algébrique sur le champ de vecteurs des variétés de Frobenius. Algebraic operads are an algebraic tool for encoding some varieties of algebras, not necessarily associative, such as Lie algebras or pre-Lie algebras. Moreover, algebraic operads can themselves be viewed as algebras in a well-chosen category. This observation allows the study of operads using the powerful tools of homological algebra. Simultaneously, the monoidal category where the monoid objects are operads is the category of combinatorial species equipped with plethysm. This enables a very combinatorial perspective on operads, providing explicit descriptions of the considered objects. These two approaches synergize well together, and this thesis will focus on the interaction between these two viewpoints. Indeed, we will use homotopical tools such as operadic Koszul duality to obtain combinatorial information on the operads we study. We then use this information to derive combinatorial descriptions that allow for explicit computations. This thesis is divided into three parts. The first part is an introduction to the theory of species. Next, we provide an introduction to the theory of algebraic operads and operadic Koszul duality. Finally, we compute descriptions of operads and apply them to prove a conjecture by Dotsenko on embedding the operad encoding the algebraic structure on the vector field of Frobenius manifolds. Electronic Thesis or Dissertation Text en PDF 1989696 Université de Strasbourg Strasbourg 2024-12-31 https://theses.hal.science/tel-04643257 application/pdf 1984596 https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2024/LAUBIE_Paul_2024_ED269.pdf http://www.theses.fr/2024STRAD008/abes https://theses.hal.science/tel-04643257 https://theses.hal.science/tel-04643257 https://theses.hal.science/tel-04643257 Laubie Paul 1996-08-16 FR 279315260 2207008358D 22120878 4200001 https://theses.fr/2024STRAD008 2024STRAD008 https://doi.org/10.70675/ed228187zb7bcz417bz9f72z568f96ff5552 2024-05-24 Mathématiques Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Dotsenko Vladimir V. MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 089291107 Chapoton Frédéric MADS_PRESIDENT_DU_JURY 161424953 Foissy Loïc MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 066929288 Willwacher Thomas Hans MADS_RAPPORTEUR_1 242765548 Livernet Muriel MADS_RAPPORTEUR_2 197047181 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 269 156504863 Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 93707 026571641 ddc:510 Dotsenko Vladimir V. Chapoton Frédéric Foissy Loïc Willwacher Thomas Hans Livernet Muriel École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) PDF 1989696