Note ABES Intégrales de variables aléatoires géométriques sur l’espace des modules d’une surface hyperbolique Integrals of geometric random variables on the moduli space of a hyperbolic surface Surfaces hyperboliques aléatoires Mesure de Weil-Petersson Variables aléatoires géométriques Pseudo-convolution Fonctions de type longueur Random hyperbolic surfaces Weil-Petersson measure Geometric random variables, Pseudo-convolution Length-type functions 516.36 Variables aléatoires Convolutions (mathématiques) Analyse géométrique asymptotique Espaces de Teichmüller Cette thèse a pour objectif de démontrer de nouveaux résultats sur l'intégration de variables aléatoires géométriques définies sur l'espace des modules des métriques hyperboliques d'une surface de topologie fixée. Les variables aléatoires auxquelles nous nous intéressons dans ce manuscrit sont construites à partir des longueurs de géodésiques fermées non simples sur des surfaces hyperboliques. Dans un premier temps nous étudions les variables aléatoires associées à des courbes en forme de huit, i.e. les courbes présentant une auto-intersection. Nous démontrons une première formule d'intégration pour ces variables aléatoires faisant intervenir des densités asymptotiquement polynomiales. Nous menons ensuite une étude systématique des fonctions longueurs des courbes, définies sur l'espace de Teichmüller. Nous introduisons une nouvelle classe de fonctions de type longueur et exploitons leurs propriétés pour généraliser nos conclusions précédentes à des courbes arbitraires. This thesis aims to prove new results on the integration of geometric random variables defined on the moduli space of hyperbolic metrics on a surface of fixed topology. In this manuscript, we focus on random variables built using the lengths of non-simple closed geodesics on hyperbolic surfaces. We first study the random variables associated to eight-shaped loops, i.e. loops with exactly one self-intersection. We prove a first integration formula for these random variables, which involves asymptotically polynomial functions. We then study systematically the length functions of loops, defined on the Teichmüller space. We introduce a new class of length-type functions and we exploit their properties to generalize our previous conclusion to arbitrary loops. Electronic Thesis or Dissertation Text fr en PDF 1979080 https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2026/Leguilloux_Victor_2026_ED269.pdf https://theses.fr/2026STRAD006/abes https://theses.hal.science/tel-05695849 https://theses.hal.science/tel-05695849 Le Guilloux Victor 1998-11-17 FR 298128853 1709051646H 21806956 4200001 https://theses.fr/2026STRAD006 2026STRAD006 https://doi.org/10.70675/f211e127z69e9z40ceza266zf73373a0d2bb 2026-06-11 Mathématiques Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Anantharaman Nalini MADS_DIRECTEUR_DE_THESE_1 144617919 Guichard Olivier MADS_PRESIDENT_DU_JURY 089284038 Farre James MADS_MEMBRE_DU_JURY_1 298129523 Guéritaud François MADS_MEMBRE_DU_JURY_2 113489641 Athreya Jayadev MADS_RAPPORTEUR_1 226832279 Parlier Hugo MADS_RAPPORTEUR_2 199210896 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) MADS_ECOLE_DOCTORALE_1 269 156504863 Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) MADS_PARTENAIRE_DE_RECHERCHE_1 93707 026571641 ddc:510 Anantharaman Nalini Guichard Olivier Farre James Guéritaud François Athreya Jayadev Parlier Hugo École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) Institut de recherche mathématique avancée (Strasbourg) PDF 1979080