Étude de diffusions à valeurs dans des variétés lorentziennes Study of diffusion processes on Lorentzian manifolds Géométrie différentielle Pas de mots clés en anglais 516.3 530.15 515.1 Géométrie différentielle Thèses et écrits académiques L'objet de ce mémoire est l'étude de processus stochastiques à valeurs dans des variétés lorentziennes. En particulier, on s'intéresse au comportement asymptotique en temps long de ces processus et on souhaite voir en quoi celui-ci reflète la géométrie des variétés sous-jacentes. Nous limitons notre étude à celle de diffusions, c'est-à-dire de processus markoviens continus, à valeurs dans le fibré tangent unitaire de variétés lorentziennes fortement symétriques. L'introduction et l'étude de tels processus ont des motivations purement mathématiques mais aussi physiques. Ce mémoire est composé de deux parties. La première est consacrée à la preuve d'un théorème limite central pour une classe de diffusions minkowskiennes. Elle est motivée par des questions ouvertes de la littérature physique. La seconde partie du manuscrit est consacrée à l'étude détaillée d'une diffusion relativiste à valeurs dans les espaces de Robertson-Walker. En fonction de la courbure et de la vitesse d'expansion de ces espaces, nous déterminons précisément le comportement asymptotique de la diffusion relativiste et montrons que ses trajectoires approchent asymptotiquement des géodésiques de lumière aléatoires. Pour une classe d'espaces de Robertson-Walker, nous explicitons en outre la frontière de Poisson de la diffusion relativiste. We study some stochastic processes taking values in Lorentzian manifolds. We are particularly interested in the long time behavior of these processes and we try to understand how it reflects the geometry of the underlying manifolds. We focus on diffusions, i.e. continuous Markov processes, taking values in the unitary tangent bundle of symmetric Lorentzian manifolds. The introduction and the study of such diffusions are motivated by physical as well as purely mathematical reasons. This thesis is divided into two parts. The first one is devoted to the proof of a central limit theorem for a large class of Minkowskian diffusions. It answers some open questions in the Physical literature. In the second part of the thesis, we study a relativistic Brownian motion in Robertson-Walker space times. We describe explicitly the asymptotic behavior of the process depending on the geometry of these space times. We show in particular that its sample paths asymptotically behave like null geodesics. We also determine the Poisson boundary of the diffusion for a class of Robertson-Walker space times. Electronic Thesis or Dissertation Text fr France PDF https://publication-theses.unistra.fr/public/theses_doctorat/2009/ANGST_Jurgen_2009.pdf Université de Strasbourg Strasbourg Angst Jürgen 1981-01-01T00:00:00 FR 131333607 http://www.theses.fr/2009STRA6121 2009STRA6121 2009-09-25T00:00:00 Mathématiques Université de Strasbourg 131056549 Doctorat Docteur es non oui Franchi Jacques 031098207 Le Jan Yves 076172937 École doctorale Mathématiques, sciences de l'information et de l'ingénieur (Strasbourg ; 1997-....) ED269 156504863 ddc:510 ddc:530